Par la Géométrie sacrée, le Compagnon a appris à construire la divine proportion (Nombre d’or), l’Etoile…, mais seulement dans le plan, en deux dimensions. Il doit atteindre le sommet de l’Art du Trait en passant au volume, dans la troisième dimension. Pour cela, les polyèdres lui sont donnés, mais pas n’importe lesquels. Il s’agit des polyèdres réguliers, convexes, qui répondent à des conditions précises :

-          Ce sont des volumes délimités chacun par l’assemblage de faces d’une seule et même figure géométrique simple.  Ce peut être :

• des triangles équilatéraux pour le tétraèdre (4 faces), l’octaèdre (8 faces), l’icosaèdre (20 faces),
• des carrés pour le cube ou hexaèdre (6 faces),
• des pentagones pour le dodécaèdre (12 faces).

On peut noter que l’assemblage d’hexagones seuls ne permet pas de créer un volume, mais seulement un ensemble plan tel que le « gâteau de cire » des abeilles.

-          Ils peuvent admettre deux sphères :

• l’une intérieure ou inscrite, en contact par tangence avec les centres de toutes les faces,
• l’autre extérieure ou circonscrite, en contact avec tous les sommets. Elle est l’englobant, le tout capable de contenir tous les polyèdres, la limite du monde accessible au Compagnon, qu’il ne peut encore dépasser mais qu’il peut atteindre par tous les sommets de sa conscience.

-          Suivant ces critères, ils sont cinq et seulement cinq, connus depuis l’antiquité sous le vocable de « corps platoniciens ». Une étude détaillée montrerait qu’ils sont des formulations géométriques des Nombres et de leur enchaînement.

         Symboliquement, chacun d’eux représente l’un des éléments de la création. Le tétraèdre est le feu, le cube la terre, l’octaèdre l’air, l’icosaèdre l’eau, et le dodécaèdre la quintessence. Les éléments ne sont pas de nature matérielle ; ils sont force de création. Il appartient alors au Compagnon de voir les polyèdres comme des outils, de les construire, de les mettre en œuvre, de les assembler, de les relier par les lois fondamentales que sont la réciprocité, le croisement, l’inversion, le flamboiement, la fraternité… ; il acquiert une pensée polyédrique qui est celle du Grand Architecte de l’Univers.

         Un modèle de leur assemblage est donné dans le livre « VITRIOL » (Edition Le Léopard d’Or – 1999), permettant de reconstituer la Pierre Cubique et de former un tout harmonieux. Ainsi apparaît l’éternité de la création, ses phases essentielles, sa dynamique, la simplicité de son unicité comme de son harmonie. Clés de perception de l’architecture développée par le Principe, ils donnent le secret de la construction du temple. Ils sont de la nature même de la vie, au-delà de toute existence humaine. Ils sont le moyen offert à l’homme pour accéder à la vie divine tant opérativement qu’en esprit, et pour reconstituer la Pierre des transmutations. Ainsi accède-t-on au devoir de participation à la création qu’est la Maîtrise. Emanation des Grands Mystères, ils sont capables d’y mener.